Оглавление
1. Особенности вычислений с плавающей точкой. (Лекция 1)
1.1. Числа с плавающей точкой (ЛР1, ЛР2)
1.2. Распространение ошибок
1.3. Основные трудности при вычислениях
1.3.1. Катастрофическая потеря верных знаков
1.3.2. Переполнение порядка
1.3.3. Исчезновение порядка («антипереполнение»)
1.4. Устойчивые и неустойчивые методы
1.5. Чувствительные задачи
1.6. Принцип непосредственного приложения
Классификация алгебраических и трансцендентных уравнений
2. Нелинейные уравнения с одним неизвестным (Лекции 2,3,4)
2.1. Отделение корней
2.1.1. Сущность отделения корней
2.1.2. Графический способ (ЛР3)
2.1.3. Подбор более простого уравнения с корнями, близкими к корням исходного
2.1.4. Аналитический способ
2.2. Максимально достижимая точность решения
2.3. Методы дробления интервала
2.3.1. Метод половинного деления (бисекции) (ЛР4, ЛР7)
2.3.2. Понятие о скорости и порядке сходимости метода (ЛР4)
2.3.3. Метод хорд (ЛР4)
2.4. Одноточечные итерационные методы
2.4.1. Метод простых итераций (ЛР5, ЛР7)
2.4.2. Понятие аттрактора (притягивающего множества)
2.4.3. Метод Ньютона-Рафсона (касательных) (ЛР6, ЛР7)
2.5. Многоточечные итерационные методы
2.5.1. Метод секущих (ЛР6)
2.5.2. Методы квадратичной интерполяции
2.6. Сравнение различных методов
2.7. Комбинированные методы
2.7.1. Метод хорд-касательных
2.8. Метод возмущений
2.9. Корни полиномов
2.9.1. Общие свойства корней полиномов
2.9.2. Отделение вещественных корней
2.9.3. Применение алгоритмов уточнения корней
2.10. Проблема кратных или почти кратных корней
2.10.1. Неустойчивость кратных корней
2.10.2. Метод Мэйкона
3. Проблема собственных значений (Лекции 5,6)
3.1. Некоторые вопросы теории матриц
3.1.1. Характеристическое уравнение (ЛР10)
3.1.2. Ортогональные матрицы
3.1.3. Особенности симметричных матриц (ЛР10)
3.1.4. Нормы векторов и матриц
3.2. Происхождение задачи
3.2.1. Системы линейных дифференциальных уравнений
3.2.2. Диагонализация тензоров
3.2.3. Колебания со многими степенями свободы
3.3. Полная проблема собственных значений для матриц общего вида
3.3.1. Метод Леверрье-Фаддеева
3.3.2. Понятие о QR-алгоритме Френсиса-Кублановской
3.4. Частная проблема собственных значений для симметричных матриц
3.4.1. Определение наибольшего по модулю собственного значения. Метод скалярных произведений
3.4.2. Определение других собственных значений. Преобразование спектра матрицы
3.5. Полная проблема собственных значений для симметричных матриц
3.5.1. Метод вращений Якоби (Неймана-Голдстайна) (ЛР11)
4. Системы линейных алгебраических уравнений (Лекция 7)
4.1. Конечные методы
4.1.1. Метод Гаусса (ЛР8)
4.1.2. LU-факторизация (Разложение Холеского)
4.1.3. Метод Гаусса с перестановками (ЛР8)
4.1.4. Матричные уравнения и обращение матриц
4.2. Число обусловленности матрицы
4.3. Итерационные методы
4.3.1. Метод Якоби (ЛР9)
4.3.2. Метод Гаусса-Зейделя (ЛР9)
4.3.3. Метод итерационного уточнения
5. Системы нелинейных уравнений (Лекция 8)
5.1. Отделение корней
5.2. Матрица Якоби
5.3. Итерационные методы решения
5.3.1. Метод простых итераций
5.3.2. Модификация Зейделя
5.3.3. Метод Ньютона-Рафсона
5.4. Метод продолжения по параметру
Классификация задач оптимизации
6. Одномерная оптимизация (Лекция 9)
6.1. Максимально достижимая точность
6.2. Оптимизация с ограничениями
6.2.1. Метод золотого сечения (ЛР13)
6.3. Безусловная оптимизация
6.3.1. Метод расширяющегося интервала
7. Задача линейного программирования (Лекция 10)
7.1. Постановка задачи
7.2. Графическое решение задачи линейного программирования с 2 переменными
7.3. Возможные типы решения задачи линейного программирования
7.4. Понятие о симплекс-методе
8. Нелинейная многомерная оптимизация (Лекции 11,12)
8.1. Постановка задачи
8.2. Классификация методов
8.3. Методы 0-го порядка
8.3.1. Метод покоординатного спуска
8.3.2. Метод Хука-Дживса (ЛР14)
8.4. Матрица Гессе
8.5. Методы 1-го порядка
8.5.1. Ступенчатый наискорейший спуск (метод Коши)
8.5.2. Наискорейший спуск с использованием одномерного поиска
8.5.3. Метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса
8.6. Методы 2-го порядка
8.6.1. Метод Ньютона
8.6.2. Метод Ньютона с регулировкой шага
8.6.3. Метод Марквардта
8.7. Условная оптимизация
8.7.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
8.7.2. Метод замены переменных
8.7.3. Метод штрафных функций
8.8. Метод Монте-Карло
Классификация задач о восстановление функциональных зависимостей
9. Интерполяция данных (Лекции 13,14)
9.1. Общая постановка задачи
9.2. Полиномиальная интерполяция
9.2.1. Интерполяционный полином Лагранжа (ЛР15)
9.2.2. Погрешность интерполяционной формулы (ЛР15)
9.2.3. Предосторожности
9.2.4. Схема Эйткена
9.3. Случай равноотстоящих узлов
9.3.1. Полином Лагранжа для равноотстоящих узлов (ЛР15)
9.3.2. Конечные разности
9.3.3. Исправление ошибок в таблицах
9.3.4. Ромбовидная диаграмма Фрезера
9.3.5. Поведение погрешностей
9.4. Интерполяция тригонометрическими функциями
9.5. Интерполяция с кратными узлами
9.5.1. Интерполяционный полином Эрмита
9.6. Кусочно-полиномиальная интерполяция
9.6.1. Кусочно-линейная интерполяция
9.6.2. Алгоритм бинарного поиска
9.6.3. Сплайн-интерполяция
9.7. Понятие о многомерной интерполяции
10. Апроксимация функциональных зависимостей (Лекции 15,16)
10.1. Классификация приближений
10.2. Дискретные среднеквадратичные приближения
10.2.1. Постановка задачи
10.2.2. Нормальные уравнения
10.2.3. Апроксимация степенными функциями (ЛР16)
10.2.4. Масштабирование базисных функций
10.2.5. Весовые коэффициенты
10.2.6. Обработка данных, измеренных с разной степенью точности
10.2.7. Метод выравнивания (нелинейный МНК с двумя параметрами)
10.2.8. Нелинейный МНК с тремя параметрами
10.2.9. Нелинейный МНК со многими параметрами
10.2.10. Понятие о сплайн-аппроксимации
10.2.11. Регрессионный анализ
10.3. Непрерывные среднеквадратичные приближения
10.3.1. Постановка задачи
10.3.2. Нормальные уравнения
10.3.3. Ортогональные функции. Ряды Фурье
10.3.4. Полиномы Лежандра
10.4. Дискретные равномерные приближения
10.5. Непрерывные равномерные (Чебышевские) приближения
10.5.1. Постановка задачи
10.5.2. Точки Чебышевского альтернанса
10.5.3. Построение Чебышевского приближения
10.5.4. Полиномы Чебышева
10.5.5. Интерполяция с Чебышевскими узлами (ЛР15)
10.5.6. Экономизация степенных рядов
10.5.7. Фильтры низктих частот с Чебышевскими характеристиками
10.6. Апроксимации Паде
11. Суммирование рядов (Лекция 17)
11.1. Накопление ошибок при суммировании знакопеременных рядов (ЛР2)
11.2. Преобразование рядов по Куммеру
11.3. Преобразование рядов по Эйлеру
11.4. Обвертывающие ряды
11.4.1. Понятие обвертывающего ряда
11.4.2. Числа Бернулли
11.4.3. Формула Эйлера-Маклорена
11.4.4. Ряд Стирлинга
Замечания о численном дифференцировании и интегрировании
12. Численное интегрирование (Лекции 18,19)
12.1. Квадратичные формулы Ньютона-Котеса
12.1.1. Простые формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона)
12.1.2. Погрешности формул прямоугольников, трапеций, парабол
(Симпсона)
12.1.3. Составные формулы (ЛР17)
12.1.4. Погрешность составных формул (ЛР17)
12.1.5. Экстраполяция Ричардсона и правило Рунге
12.1.6. Квадратуры Ромберга
12.1.7. Оптимальное число подинтерывалов
12.2. Квадратурные формулы Гаусса
12.3. Понятие об адаптивных методах с автоматической переменой длины шага
12.4. Сплайн-квадратуры
12.5. Интегрирование функций, содержащих особенности. Несобственные интегралы.
12.5.1. Метод усечения для несобственных интегралов 2-го рода
12.5.2. Аддитивный способ выделения особенности
12.5.3. Мультипликативный способ выделения особенности
12.5.4. Квадратурные формулы типа Гауссовых
12.6. Кратные интегралы
12.7. Метод Монте-Карло (ЛР18)
13. Численное дифференцирование (Лекции 20,21)
13.1. Конечно-разностные приближения производных
13.1.1. Принцип конечно-разностного приближения производных
13.1.2. Дифференцирование интерполяционных полиномов Лагранжа. Оценка погрешностей.
13.1.3. Правило Рунге
13.1.4. Выбор оптимального шага при дифференцировании
13.2. Дифференцирование со сглаживанием
13.3. Конечно-разностная схема для одномерного уравнения Шредингера (ЛР21)
13.3.1. Постановка задачи
13.3.2. Дискретизация задачи
13.3.3. Особенности решения
14. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекции 22,23,24)
14.1. Постановка задачи Коши
14.2. Одношаговые методы (ЛР19)
14.2.1. Метод Эйлера
14.2.3. Методы Рунге-Кутты 2-го порядка
14.2.2. Методы Рунге-Кутты более высоких порядков
14.3. Системы дифференциальных уравнений и уравнения высших порядков
(ЛР20)
14.4. Многошаговые методы
14.4.1. Явные методы (методы Адамса-Башфорта)
14.4.2. Неявные методы (методы Адамса-Моултона)
14.4.3. Методы предиктор-корректор
14.5. Сравнение методов Рунге-Кутты и Адамса
14.6. Краевая задача
14.6.1. Постановка задачи
14.6.2. Метод стрельбы
|